Калькуляторы расчета размеров развертки конуса — с пояснениями

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

https://www.youtube.com/watch?v=ytcreators

Алгоритм построения

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S0A0B0. Длины его сторон S0A0 и S0B0 равны образующей l конической поверхности. Величина A0B0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S0A0B0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S0A0=l, после чего из точек S0 и A0 проводим окружности радиусом S0B0=l и A0B0= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B0 с точками A0 и S0.

Грани S0B0C0, S0C0D0, S0D0E0, S0E0F0, S0F0A0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S0A0B0.

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’₁ занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π₂. Соответственно, S’’5’’₁ – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S₀1₀6₀, S₀6₀5₀, S₀5₀4₀, S₀4₀3₀, S₀3₀2₀, S₀2₀1₀. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S₀1₀6₀ длина S₀1₀=S’’1’’₀, S₀6₀=S’’6’’₁, 1₀6₀=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
3. Находим положение точек A₀, B₀, C₀ на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S₀A₀=S’’A’’, S₀B₀=S’’B’’₁, S₀C₀=S’’C’’₁.
4. Соединяем точки A₀, B₀, C₀ плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

https://www.youtube.com/watch?v=https:tv.youtube.com

Алгоритм

1. Строим вспомогательный конус ε, подобный конусу ω, как это показано на рисунке выше. Для удобства построения величину диаметра d выбираем таким образом, чтобы соотношение t=D/d выражалось целым числом. В рассматриваемом примере t=2.
2. Строим развертку боковой поверхности конуса ε – S₀A₀1₀2₀3₀4₀5₀A₀ и на биссектрисе угла A₀S₀A₀ отмечаем точку O₀, выбрав ее расположение произвольно.
3. Проводим прямые O₀A₀, O₀1₀, O₀2₀, O₀3₀, O₀4₀, O₀5₀, O₀A₀ и на них откладываем отрезки [O₀A₁₀]=t×|O₀A₀|, [O₀1₁₀]= t×|O₀1₀|, [O₀2₁₀]=t×|O₀2₀|, [O₀3₁₀]=t×|O₀3₀|, [O₀4₁₀]=t×|O₀4₀|, [O₀5₁₀]=t×|O₀5₀|, [O₀A₁₀]=t×|O₀A₀| соответственно, где t=D/d. Соединяем точки A₁₀, 1₁₀, 2₁₀, 3₁₀, 4₁₀, 5₁₀, A₁₀ плавной линией.
4. Из точек A₁₀, 1₁₀, 2₁₀, 3₁₀, 4₁₀, 5₁₀, A₁₀ проводим лучи, которые параллельны соответственно прямым A₀S₀, 1₀S₀, 2₀S₀, 3₀S₀, 4₀S₀, 5₀S₀, A₀S₀, и на них откладываем отрезки A₁₀B₁₀, 1₁₀1₂₀, 2₁₀2₂₀, 3₁₀3₂₀, 4₁₀4₂₀, 5₁₀5₂₀, A₁₀B₁₀, равные l – образующей усеченного конуса. Проводим линию B₁₀1₂₀2₂₀3₂₀4₂₀5₂₀B₁₀.